据传，阿基里斯(Achilles)是古希腊神话中善于行走的神，他走的速度很快，即使是世界上跑得最快的人也没法与他相比。

    古希腊有一位哲学家叫芝诺(Zeno of Elea)，他的学生们都对他推崇备至，认为他对天下之事无所不知，无所不晓。然而有一天，芝诺在给学生上课时却提出了这样一个断言：阿基里斯是跑得很快的，可是，若让他与乌龟一起赛跑，却永远不能追上一只慢慢爬行的乌龟。

     听了老师的讲话，学生们个个感到惊奇和意外。阿基里斯与乌龟赛跑，那是轻而易举就可追上乌龟的，这是众所周知的事实，可知识渊博的老师怎么会说出这样的奇谈怪论呢？难道老师连起码的常识都忘了吗？学生们都不解地望着老师，一位学生终于大胆地提出了存于心中的疑问：“老师，您能告诉我们为什么阿基里斯追不上乌龟吗？”

      芝诺回答道：“这个问题我自己也一直没能够解决。”

     学生们更加奇怪了，大家你看看我，我看看你，谁也不明白老师今天上课的用意何在，芝诺也是一副陷入沉思的样子。

     过了许久，芝诺抬起头来，他终于答应把自己的研究了很长时间的问题讲述给学生们。

      为了方便起见，我们假设阿基里斯与乌龟赛跑时阿基里斯的速度是每小时行走10千米，而乌龟的速度是每小时爬1千米。比赛是在对双方都很公平的条件下进行的，并且阿基里斯在乌龟后面10千米。比赛开始时，二者同时出发，乌龟在前面爬，阿基里斯在后面追。这样的话，问题就出来了。

     1小时以后，当阿基里斯走了10千米，到达乌龟原来出发的位置时，乌龟又爬到前面1千米的地方；

     1/10小时以后，阿基里斯追了1千米，乌龟又向前爬了1/10千米；

     1/100小时以后，阿基里斯追了1/10千米，乌龟又向前爬了1/100千米；

      ……

      如此下去，阿基里斯与乌龟之间的距离虽然越来越接近，但阿基里斯却永远追不上乌龟。

      芝诺讲到这里，他的学生们却个个都愣住了。他们心里都明白老师的说法是错的，是与常理相悖的，但谁也无法指出他错在哪里，就连芝诺自己不都说了还在研究吗？

      其实，这是芝诺在作诡辩，这也就是后人所称的著名的“芝诺悖论”，它的提出促使了人们对无穷小量的研究，甚至引起了一场数学观念上的革命。因为当时的数学家们认为，无限多个很小的量的和必定为无限大。而在芝诺悖论中，芝诺巧妙地钻了空子，把有限长的线段分成了无限多个很小线段的和，把有限的时间可以完成的运动分成了无限多段很短的时间来完成。后来，人们终于弄清楚，无限多个很小的量的和未必一定是无限大，而可能是有限的。

      在上面的芝诺悖论中，用我们现在的根限知识是很容易揭穿这一诡辩的。阿基里斯追乌龟时，走完第一段路程需要1小时，走完第二段路程需1/10小时，走完第三段路程需1/100小时，……，这样，追上乌龟共需的时间为

      1+1/10+1/100+…=1.11…=10/9 (小时)

     而这是一个有限数，说明阿基里斯追上乌龟只需要10/9小时，这对阿基里斯来说自然是很快的了。需要说明的是：利用高中无穷递缩等比数列的知识，还可以作严格的推论。