2  圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

年级：高二： 学科：数学  教材：必修2  执笔：   审核： 

学习目标

（1）感知并认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，初步形成空间观念；

（2）了解圆柱、圆锥、圆台和球的概念，能画出圆柱、圆锥、圆台和球的示意图；

（3）能用运动变化的观点认识圆柱、圆锥、圆台和球的辨证关系．

学习重点

圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征和有关概念．

学习难点：

圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．

学习过程

一、课前准备

  1．预习教材的内容，写下疑惑摘要：

2．圆柱的母线长为5，底面圆的周长为，则形成这个圆柱的矩形面积是

  5  ．

3．圆锥的母线与轴的夹角为，母线长为，则圆锥底面面积为．

4．圆台的母线长为，两底面半径分别为、，则圆台的高为  4   ．

二、新课导学

（一）探究活动

1．观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？

2．以  矩形的一边   所在的直线为旋转轴，   其余三边旋转形成的曲面所围成  的几何体，叫做圆柱；  旋转轴  叫做圆柱的轴，  垂直于轴的边旋转而成的圆面  叫做圆柱的底面，  平行于轴的边旋转而成的曲面  叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置， 不垂直于轴的边   都叫做圆柱的母线．

3．以  直角三角形的一条直角边   所在的直线为旋转轴，   其余两边旋转形成的曲面所围成  的几何体，叫做圆锥；  旋转轴  叫做圆锥的轴，  垂直于轴的边旋转而成的圆面  叫做圆锥的底面，  斜边旋转而成的曲面  叫做圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，  斜边   都叫做圆锥的母线．

4．用  平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的几何体  叫做圆台．

5．如果用形成圆柱和圆锥的方式，如何形成圆台？

以  直角梯形的垂直于两底边腰   所在的直线为旋转轴，   其余三边旋转形成的曲面所围成  的几何体，叫做圆台；  旋转轴  叫做圆柱的轴，  垂直于轴的边旋转而成的圆面  叫做圆台的底面，  不垂直于轴的边旋转而成的曲面  叫做圆台的侧面，无论旋转到什么位置， 不垂直于轴的边   都叫做圆台的母线．

6．以  半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周所得到的几何体  叫做球体，简称为球．

  半圆的圆心  叫做球的球心， 半圆的半径 叫做球的半径， 半圆的直径  叫做球的直径．

7．圆柱、圆锥、圆台和球统称为旋转体，旋转体的经过轴的截面叫做轴截面．

（二） 典型例题

【例1】下列命题正确的是    （  C  ）

     A．直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥

     B．用一个平面截圆柱，截面一定是圆面

     C．圆锥截去一个小圆锥后，剩下来的是一个圆台

     D．通过圆台侧面上一点有无数条母线

解：只有围绕直角边旋转而成的才是圆锥，（思考：围绕斜边旋转而成的是什么？），故A错误．当截面与圆柱底面平行时，截面是圆面，不平行时，不是圆面（思考：会是什么形状？），故B错误．因为截去的是小圆锥，所以截面与圆锥底面平行，所以剩下来的是圆台，故C正确．通过圆台侧面上一点有且只有一条母线，故D错误．

小结：熟悉圆柱、圆锥和圆台的形成过程，是解决问题的关键．

【例2】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．

解：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为，．

根据相似三角形的性质得，，解得．

所以，圆台的母线长为9cm．

小结：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得.

*【例3】设圆锥母线长为l，高为，过圆锥的两条母线作一个截面，求截面面积的最大值．  

解：设两母线的夹角为，因为过圆锥的两条母线所作的截面是等腰三角形，所以，截面面积为，当时，有最大值．

*【变式】设圆锥母线长为l，轴截面顶角为，过圆锥的两条母线作一个截面，试讨论截面面积的最大值．

解：设两母线的夹角为，则截面的面积为，

当时，，截面面积的最大值为，此时轴截面是最大截面；

当，，即，截面面积的最大值为，此时，轴截面面积不是最大面积．

小结： ①误区：以为轴截面面积最大；②以三角函数的观点解题．

（三） 总结提升

1．学习小结

2．知识拓展

类比棱柱、棱锥、棱台的生成过程，认识圆柱、圆锥、圆台的结构特征．

如何实现从棱柱到棱锥的转化： 上底面缩小，棱柱变为棱台，当上底面缩为一点时，棱台变为

棱锥．

如何实现从圆柱到圆锥的转化： 上底面缩小，圆柱变为圆台，当上底面缩为一点时，圆台变为

圆锥．

三 反馈练习

1．判断题

（1）在圆柱的上下底面上各取一点，这两点的连线是圆柱的母线．  （  错 ）

（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形． （  对  ）

*（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形． （  错  ）

*（4）球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线．             （  错  ）

2．选择题

（1）的三边长分别为3、4、5，绕其中一边旋转成一个圆锥，下面的描述不正确的是（  C ）

    A．是底面半径为3的圆锥           B．是底面半径为4的圆锥

    C．是底面半径为5的圆锥           D．是母线长为5的圆锥

（2）下列说法中正确的是（  D  ）

    A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥

    B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

    C．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径

    D．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

*（3）下列说法正确的是（  A  ）

    A．过圆锥顶点的截面是等腰三角形  

 B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形

    C．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形           

    D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形

3．填空题

（1）以边长分别为6、8、10的三角形的外接圆直径所在的直线为旋转轴将这个外接圆旋转得到的几何体是  球   ；其半径是  5   ．

（2）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴截面的面积为． 

（3）圆台的上下底面的直径分别为，，  高为，则圆台母线长为．

4．动动手：找一张正方形的纸，通过折或卷或切割后再折的方式，能否做成正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台（可以是封闭的，也可以是不封闭的）？请试一试．

四 教后反思